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让我来发代数几何参考书

2010-01-29 13:41:14| 分类：数学统计 | 标签： |举报 |字号大中小订阅

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我是学代数几何的..我认为代数几何比微分几何有趣多了. 虽然为分几何的重要性是无庸置疑,但是代数几何有更多巧妙得构思,也有更有趣的问题.

要想在代数解何界有一番作为, 比须学习以下各种功夫:

武当长拳( 基本功夫)

Atiyah&McDonald 的 Introduction to Commutative Algebra 和 Matsumura 的 Commutative Algebra 是代数几何中代数部份的背景知识. 两本书只重视代数而不提及几何,但第一本书的习题有很多引出几何背后意义的好问题.事实上任何一个交换代数的定理都有几何意义. 梯云纵 (练了想进哪个分支都可以 ...)

SRobin Hartshorne 的 Algebraic Geometry 是代数几何的经典教科书.任何一个年纪不到五十的代数几何学家都是学这本书长大的.这本书是 Grothendick 的 EGA 和 SGA 一部分的一个非常有系统的总结. Grothendick 的书包含的内容很齐全但是失于不实际: 也就是讨论的对象过于一般友时没有几何意义, 这一点十分不好. 但是 Hartshorne 的书把整个 Grothendick 的 Scheme 纲领作了一个最恰当的诠释.这本书的习题也非常重要不管将来对算数几何或复几何或更深入的代数几何这本书的习题都是永远有用的.(PS: Hartshorne 的书的精华在 123 章, 其45章对于如果不是做算数几何的人是没有用处的,有更好的替代用书)

一套武术服饰(行走江湖要穿衣服)

Gunning 的 Lectures on Riemann surface 或 Forster 或 Farkas 或 Jost 的 Riemann Surface: 黎曼曲面是真正的数学. 跟一切的数学分之都有重大关系. 上述四个作者的书都有相当深度. 我只念过 Gunning 的, 是一本比较重视"上同调群" 的好书. 其它几本又或重视黎曼面的 hyperbolic geometry 或 automorphism 或 special linear series. 都非常有意思. 很多人 ,尤其是中国人还喜欢伍鸿禧写的黎曼曲面引论. 但我并不是非常喜欢.

全真派基本内功(一定要练)

Griffith& Haris 的 Principles in Algebraic Geometry. 这本书是经典中的经典.是复几何的基本教材. 这本书的每一章都很棒. 第一章是Hodge 理论..是几何中最深奥的理论. 第二章是Kodaira 嵌入定理复流行的嵌入比实流形的嵌入有趣多了. 第三章是 current 和 spectral sequence, 是很重要的工具. 第四章是曲面论 . 写的很详尽但是有更好的书(见6). 第五张是特殊专题对袋鼠几何中不同方向的人有不同功用.

5 九阳神功

Barth & Hulek & Peters 的 Compact complex surfaces. 这本书是经典中的经典中的经典. 讲的是代数曲面的各种专题. 每个章节都写的无限完美. 可以说如果学代数几何没念过这本书. 甚至是学几盒没念过这本书..可以考虑换行.是百年难得一见的好书. 我个人以为此书新版的最后两张写的尤其好. 一是 K3 曲面另一个是 Doanaldson 和 Seiber Witten 理论. 现在都是无限热门的专题.

6 少林派罗汉拳(可以练练,如果没事)

Robert Friedman 的 Algebraic Surfaces and Holomorphic Vector Bundles 这本书是讲曲面和上面的向量丛. 曲面得部分讲得有点乱,事实上没有人把曲面讲的比 Barth 还好的. 向量丛得部分值得一看.

7 吸星大法 (练完就可以吸取微分拓墣学家的内功以为己用)

Donaldson & Kroheimer 的 The Geometry of Four manifold. 这是微分拓墣中的圣经.两人都是大家. 此书引出了四维流形的 Gauge Invariant (规范不变量), 而复曲面是四维流形中的一大类 ..因此也是代数几何的好书.

8 乾坤大挪移 (练到一半就够强了全部练完你也吐血而亡)

John Morgan 和 Robert Friedman 的 Smooth four manifold and Complex surfaces.这本书讲得是椭圆曲面和其上面Donaldson 规范不变量理论.作者利用此理论得到了曲面的一个大定理, 证明了最多只能有有限个复变形类共享一个微分结构. 是一本很专门的书我还在努力学习.

9 筋肉人和加菲猫的无敌风火轮 (练前请三思)

KHaris 的 The Geometry of Algebraic Crves.是非常非常狭宰的领域. 研究的是代数曲线上的特殊线性系统. 非常难念的一本书.念完后的用处也不多..但是可以成为一个代数曲线的专家.

10 五狱派剑法 (有用处但是相当杂乱.拼拼凑凑)

WJoe Harris & David Morrison 的 Moduli of Curves 这是讲曲线的模空间的经典.但我并不那么喜欢.里面有 Enumerative Geometry (记数几何) 的一个引论. 有曲线模空间上的相交数和各种性质.

11 九阴真经 (练完后可以开始真正研究问题)

John Morgan 和 Robert Friedman 的 Gauge Theory and the Topology of Four-Manifolds.里面有Gieseker 写几何不变量理论. 李骏的 Uhlenbeck 紧化和 Gesieker紧化的比较定理. Morgan 讨论 Donaldson 规范不变量和更多人对此量的计算结果.

12 太极拳 (发展无限)

Daniel Huybrecht 的 The Geoemtry of Moduli Space of Sheaves是向量丛模空间的经典用书. 第二部分有此学科最先进的结果. 各章的附录都有很重要又有趣的结果.

13 MK47 步枪 (可以对付一级武林高手)

Joyce, Gross & Huybrecht 的 Calabi-Yau Manifolds and Related Geometries. 是最新的 Mirror symmetry 的专题书. 讲Calabi Yau 流形的各种相关问题. 有Yau 解决 Calabi 猜想的概述. 有 Mirror 猜想和 SYZ (Strominger& Yau& Zaslow) 猜想. 还有 HyperKaeler 流形性质的讨论.这是二十世纪的数学.

14 机关枪 (可以抢银行)

Pandharipande, Sheldon Katz, Hori... 一群人合写的 Mirror Symmetry . 除了 Mirror conjecture 在五次三微流形(quintic three fold )的证明外, 还包括了 Gopakuma Vafa 猜想, Homological Mirror Symmetry 猜想, 甚至Mirror Symmetry 的源头: 高能物理中的弦论和保角场论, 全都由专家执笔.. 从难到易..我现在也在闭关修练中.

15 原子弹( ...................)

Griffith 的 Topics in Trascendental Geometry 是霍奇结构(Hodge structure) 的一本经典书. 在1985年左右有一大票数学家想解决霍奇猜想(没错就是那个一百万问题).她们虽然没有解出来但对猜想有很深入的了解.本书是她们工作的简述. 是一本难读却很值得读的书.

关于大学就把Hartshorne看完的人.我也认识不少.甚至还有女生.但是在我认识了这么多数学工作者之后.我发现这样的人并不是最牛的.真正牛的人是能从特殊例子读出一般性质的人代数几何学起来很有趣.但是学的人有很多不同的背景 .比如念的下Hartshorne的人,分析不一定很行,念的下 Griffith Haris的人..Hartshorne 就不依定廿的下. 两者兼通的人,却也不一定两者的好处都能用上.主要原因是复几何和纯粹代数几何有很大的不同,在复几何里 classical cohomology or homotopy 都不需要特别处理, 在scheme over K 且 K 不是复数体的情形(很多人关心有限体) classical cohomology 需要一整本 SGA 来定义成 Etale cohomology 而 homotopy 要用 Voevosky/Levine 的 Motivic homotopic theory.更不要说著名的 Hodge Decompsition 和 harmonic analysis 或是 connection (规范) on holomorphic bundle, 都是复几何才有而代数几何说不了多少.我个人非常认为复几何比纯代数几何有学习价值. 主要是直观的提供. 代数这种东西, 直觉不容易从中产生, 很多时候代数不过是简便的讨论对象的工具,和对象本身不大相同.但也不可以忽视.只是应以直观为体, 代数为用 (分析为用也可以).当然学到极高的境界代数会有很妙的功用.另外代数是简化分析语言的一个漂亮的办法. 比如 Hartshorne 的123章都是.但不应该迷失在漂亮的语言中.毕竟会说话的做不了事.

Hartshorne 有两个好处是复几何没有的.一是除了上述的 K不是复数的这种 variety(or scheme)的性质,二是研究 singularity 的工具. 或毋宁说是语言.虽然只是语言,但是在分析里研究一般singularity是几乎不可能的,在假设是多项式型态的singularity之后,交换代数就可以登台表演. 所以有一句名言很切实际: 代数不过是有限维的分析.

当然我上述的是 General 的理论. 代数几何里面, 代数曲线=黎曼曲面=有常曲率度规的流形, 这个一维(实数二维) 的情形是所有学科的交会点. 没有从哪一个方向学习比较好的区别.

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